Навчальна програма

НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ:

Мета викладання дисципліни – вивчення та дослідження математичних моделей на основі диференціальних рівнянь.

Завдання: надати студентам теоретичних знань і формування практичних навичок з побудови, розв’язання, дослідження та аналізу математичних моделей на основі диференціальних рівнянь.

У результаті вивчення навчальної дисципліни студент має

засвоїти математичні предметні знання про

  • диференціальні рівняння першого порядку,
  • диференціальні рівняння вищих порядків,
  • лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами,
  • знаходження наближених розв’язків задачі Коші,
  • системи диференціальних рівнянь,
  • теорію стійкості диференціальних рівнянь і систем;

опанувати навчальними діями

  • застосування процедур розв’язування різних типів диференціальних рівнянь першого порядку,
  • застосування процедур розв’язування різних типів диференціальних рівнянь вищих порядків,
  • використання чисельних методів розв’язування диференціальних рівнянь та систем диференціальних рівнянь;

опанувати діями з математичного моделювання за допомогою:

  • диференціальних рівнянь першого порядку,
  • лінійних диференціальних рівнянь 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами,
  • нормальних систем диференціальних рівнянь,
  • чисельних методів розв’язування диференціальних рівнянь та систем диференціальних рівнянь;

опанувати способами дій майбутньої професійної діяльності

  • розробляти математичні моделі об’єктів і процесів інформатизації на основі результатів проведених досліджень,
  • розробляти детерміновані та стохастичні моделі об’єктів та процесів інформатизації, використовуючи методи математичного моделювання, вміти ідентифікувати їх параметри,
  • аналітично досліджувати властивості математичних моделей (коректність, повнота, складність, точність моделей; існування, єдиність і стійкість розв’язків, тощо,
  • використовувати, розробляти та досліджувати алгоритми розв’язування задач моделювання об’єктів і процесів інформатизації, задач оптимізації, прогнозування, оптимального керування та прийняття рішень, тощо.

ЗМІСТ ПРОГРАМИ

ТЕМА 1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

  1. Диференціальні рівняння. Основні поняття. (Лекція 1)
  2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. (Лекція 2)
  3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння Бернуллі. (Лекція 3)
  4. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку. (Лекція 4)
  5. Рівняння в повних диференціалах. (Лекція 5)

ТЕМА 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

  1. Диференціальні рівняння вищих порядків. Постановка задачі Коші. Теорема про достатні умови існування та єдності розв’язку задачі Коші. Теорема про достатні умови існування та єдності розв’язку задачі Коші. Загальний та частинний розв’язки диференціальних рівнянь вищих порядків. (Лекція 6)
  2. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. (Лекція 7)
  3. Побудова загального розв’язку лінійного однорідного рівняння п-го порядку. (Лекція 8)
  4. Розв’язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння п-го порядку. (Лекція 9)
  5. Розв’язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною. (Лекція 10)

ТЕМА 3. СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

  1. Системи диференціальних рівнянь. Розв’язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння п-го порядку. (Лекція 11)

ТЕМА 4. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ РІВНЯНЬ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ЇХ РОЗВ’ЯЗКІВ

  1. Чисельні методи розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем. (Лекція 12)
  2. Стійкість розв’язків диференціальних рівнянь. (Лекція 13)
  3. Розв’язок практичних задач за допомогою диференціальних рівнянь. (Лекція 14)

ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ

ТЕМА 1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

1.Звичайні диференціальні рівняння. Загальний та частинний розв’язок. Інтегральні криві. Математичні моделі на основі диференціальних рівнянь. (Практичне заняття 1.1.)
2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. (Практичне заняття 1.2. )
3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі. (Практичне заняття 1.3.)
4. Однорідні диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння, що зводяться до однорідних. (Практичне заняття 1.4.)
5. Рівняння у повних диференціалах. (Практичне заняття 1.5.)
6. Індивідуальна самостійна робота за темою «Диференціальні рівняння першого порядку». (Практичне заняття 1.6.)

ТЕМА 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

1. Рівняння, що допускають зниження порядку. (Практичне заняття 2.1.)
2. Лінійні рівняння п-го порядку. Розв’язування лінійних однорідних рівнянь 2-го порядку. (Практичне заняття 2.2.)
3. Метод варіації довільних сталих розв’язування лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь 2-го порядку. (Практичне заняття 2.3.)
4. Розв’язування лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь п-го зі спеціальною правою частиною. (Практичне заняття 2.4.)
5. Індивідуальна самостійна робота за темою «Диференціальні рівняння вищих порядків». (Практичне заняття 2.5.)

ТЕМА 3. СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

1. Зведення систем диференціальних рівнянь до диференціального рівняння п-го порядку. (Практичне заняття 3.1.)
2. Розв’язування систем диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним способом. (Практичне заняття 3.2.)

ТЕМА 4. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ РІВНЯНЬ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ЇХ РОЗВ’ЯЗКІВ

1. Чисельні методи розв’язування диференціальних рівнянь та систем. (Практичне заняття 4.1.)
2. Дослідження стійкості розв’язків диференціальних рівнянь та систем. (Практичне заняття 4.2.)
3. Індивідуальна самостійна робота за темами «Системи диференціальних рівнянь. Чисельні методи розв’язування диференціальних рівнянь і систем та дослідження стійкості їх розв’язків». (Практичне заняття 4.3.)